男友问题

男友问题

原题是在知乎上看到的

如果一个女生说,她集齐了十二个星座的前男友,我们应该如何估计她前男友的数量?

解答也是在知乎上看到的

要想集齐12个星座的前男友,
需要经历13个状态:(状态0)玩过0个星座的男友(状态1)玩过1个星座的男友……(状态12)玩过12个星座的男友
状态0是初始态,状态12 是终止态,这13个状态是顺序发生而一个不能漏的。
要实现状态升级,就需要玩新的男友,且他们中有人的星座之前没玩过。从状态0到1,只要玩1(=12/12)个就好。因为之前本姑娘还处于含苞待放的状态从状态1到2,新玩男友数量的期望值为12/11。因为之前已经玩过一个星座,所以遇到一个新星座男友的概率为(12-1)/12……从状态i到i+1,新玩男友的期望值为12/(12-i)。因为之前已经玩过i个星座,所以遇到一个新星座男友的概率为(12-i)/12……从状态11到12,完成任务,新玩男友的期望值为12/1。因为之前已经玩过11个星座,所以遇到一个新星座男友的概率为(12-11)/12把这12次状态升级所需的新男友数量的期望值加在一起就等于前男友数量的期望值,12/12+12/11+12/10+...+12/1=37.23 

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